Contents 26

ZBORNÍK SYMPÓZIA

O POČÍTAČOVEJ GEOMETRII

SCG´2006

Album

PROCEEDINGS OF SYMPOSIUM

ON COMPUTER GEOMETRY

SCG´2006

Volume 15

Slovak Society for Geometry and Graphics

Mechanical Engineering Faculty

Civil Engineering Faculty

Slovak University of Technology in Bratislava

September 2006, Kočovce, SR

ISBN 80-227-2489-0

Contents

V. Bálint: Perspektívy zotrvania geometrie v študijných plánoch technických univerzít v SR	5
V. Bálint, V. Bálint jr.: Jednoznačnosť jednej optimálnej konfigurácie bodov v kocke . . . .	8
E. Baranová, K. Maleček: Kužeľosečkové plochy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .	11
J. Błahut: A Semigroup with No Finite Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	17
M. Božek, P. Zahradník: On Surfaces of Constant Slope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	20
S. Cichacz, T. Sulima-Samujłło, T. Wieja: Computer Aided Visualisation of Problems Related to Polyhedra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	24
P. Csiba: Geometrické softvéry vo vyučovaní. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .	28
J. Černý: Tři problémy aplikované geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .	34
J. Dietrich, T. Sulima-Samujłło: Computer Aided Solution of Spatial Geometrical Problems	40
G. Franzoni: Material Models of Surfaces: some problems in RP models . . . . . . . . . . . . . .	44
P. Grešák: Z histórie vyučovania deskriptívnej geometrie na Žilinskej univerzite . . . . . . .	51
L. Hasajová: Vizualizácia, simulácia procesov vo vyučovaní matematiky prostredníctvom IKT s dôrazom na e-learning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	54
J. Hřebíček, V. Žák: Možnosti systému Maple v geometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	59
M. Imabuchi: Considerations on Subject for Introducing Process into 3-D CAD Modeling in Graphic Education . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	64
Z. Juščáková, D. Šuch, A. Haščák: Podoby geometrie na fakulte umení Technickej univerzity v Košiciach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	68
M. Kmeťová: On Hodographs of Polynomial and Rational Bézier Curves . . . . . . . . . . . . .	73
M. Kočandrlová, H. Lakomá: Jednosnímková fotogrammetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	79
M. Konrádová, J. Kostrová: Možnosť využitia programovacieho systému Matlab v počítačovej grafike - krivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .	85
S. Kudličková: Variety of End Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	91
M. Kupčáková:Perspektiva prostorových útvarů v Dürerově Melancholii . . . . . . . . . . . . .	98
I. Linkeová: Konvexní obal Fergusonova plátu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	104
I. Markechová: A Notelet to the Lorenz System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	110
H. Merta, S. Sulwiński, K. T. Tytkowski: Why?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	114
P. Novotný: Pakovanie troch kociek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	117
K. Palac, T. Wieja: Application of the AutoCAD Program to Determination of the Solar Layers and Visualization of the Limits of Terrain Insolation .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	120
J. Procházková, D. Procházka: The Implementation of Cylinder and Cone as NURBS Surfaces in Engineering Software. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .	124
D. Stachová: Výpočet a modelovanie jazdnej dráhy vozidla po vozovke s nerovnosťami.	130
S. Sulwinski, K. T. Tytkowski: Activity of the GEGC from SUT Gliwice (Poland) against the Background of the Accomplishments of Polish Descriptive Geometry. . . . . . . . . . . . .	136
Z. Študencová: Stopa v grafike nelineárnych transformácií.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	142
M. Vajsáblová: Nástroje systému MOODLE vhodné pre výučbu geometrie . . . . . . . . . . . .	148
D. Velichová, S. Zachariáš: Osové súmernosti pravidelných mnohostenov . . . . . . . . . . . . .	154
Š. Voráčová:: Elektronická podpora výuky diferenciální geometrie s využitím Maple. . . . .	164
E. Vranková: Množiny bodov danej vlastnosti v priestore a Cabri geometria II . . . . . . . . .	169
T. Wieja: Assessment of Application of the AutoCAD Graphic Program in the Record of Architectonic Survey of Antique Objects by Means of the Triangulation Method. . . . . . . .	179
V. Žák, D. Martišek: Fast Graphic Algorithm of Implicit Surfaces Construction. . . . . . . . .	180

Vojtech Bálint
Katedra KMaHI fakulty PEDAS ŽU, Univerzitná 1, 010 26 Žilina, SR

Vojtech Bálint, Vojtech Bálint jr.
Katedra KMaHI fakulty PEDAS ŽU v Žiline, nám. Ľ.Fullu 15, Žilina, SR

Abstrakt. V práci dokážeme jednoznačnosť jednej konfigurácie bodov v n-rozmernej kocke a zlepšíme dolné odhady pre dimenzie n>=12.

Eva Braranová¹, Kamil Maleček²
¹SvF TU Košice, Vysokoškolská 4, 040 01 Košice, SR, SR, e-mail: eva.baranova@tuke.sk²FSv ČVUT Praha, Thákurova 7, 166 29 Praha 6, ČR, e-mail: kamil@mat.fsv.cvut.cz

Abstrakt. V príspevku sa zaoberáme plochami, ktoré sú tvorené systémom podobných kužeľosečiek. Kužeľosečky majú rovnobežné osi a jedno ohnisko leží na danej priamke. Plochy budeme nazývať kužeľosečkové plochy. Odvodíme parametrické rovnice a v prostredí Maple vykreslíme niekoľko plôch pre každý typ.
Kľúčové slová: Podobné kužeľosečky, kužeľosečkové plochy

Summary. The paper deals with one possibility of the construction of surfaces that have one system of generating lines in the conic-sections, namely ellipses, parabolas or hyperbolas. These conic-sections are similar having parallel axes and one focus lies on the given straight line. Such surfaces we denote elliptical, parabolical or hyperbolical surfaces according to the generating lines. We derive parametric equations of these surfaces and display some examples for each group by using software MAPLE.

Jerzy Błahut
Instytut Elektroniki Politechniki Śląskiej, ul. Akademicka 16, 44-100 Gliwice, Polska
e-mail: ewa.blahut@womkat.edu.pl

Miloš Božek¹, Peter Záhradník²Comenius University, Faculty of Mathematics, Physics and Informatics, Mlynská dolina, 842 48 Bratislava, SR
¹e-mail: bozek@fmph.uniba.sk²e-mail: zahro@hotmail.com

Abstract. The main aim of the paper is to simplify definition of the surface of constant slope by eliminating the requirement to be torsal ruled surface.
Keywords: Ruled surface, torsal ruling, Gaussian curvature.

Silvia Cichacz¹, Tomasz Sulima-Samujłło², Tomasz Wieja³
AGH University of Science and Technology, Faculty of Applied Mathematics
30-059 Kraków, al.Mickiewicza 30, Poland,
¹ e-mail: cichacz@agh.edu.pl, l,
² e-mail: sulsam@agh.edu.pl ³ e-mail: twieja@poczta.fm

Keywords: Flash, Monge projection, animation, visualization, vectorial picture, collineation.

Peter Csiba
PF UJS, ul. Roľníckej školy 1519, 945 01 Komárno, SR
e-mail: csiba.peter@selyeuni.sk

Abstrakt. Cieľom príspevku je oboznámiť záujemcov s niektorými interaktívnymi geometrickými softvérmi. Opísané softvéry GeoGebra a Winplot sú voľne dostupné a existuje ich slovenská lokalizácia, preto ich použitie vo vyučovacom procese (na seminároch ale aj v domácej príprave študentov) môže byť veľmi užitočné. S používaním interaktívnych geometrických softvérov sú však spojené aj veľmi vážne, kardinálne otázky vyučovania matematiky pomocou počítača.
Kľúčové slová: Interaktívne geometrické softvéry, freeware, GeoGebra, Wingeom

Summary. This article contains short characterization of two interactive geometry software Wingeom and GeoGebra. Both software packages are free to use and have complete Slovak localisation. Interactive geometry software packages are useful tools in teaching of mathematics but this field of application is still qestionable.

Jaroslav Černý
FSv ČVUT Praha, Thákurova 7, 166 29 Praha 6, ČR
e-mail: cerny@mat.fsv.cvut.cz

Abstrakt. Práce uvádí tři příklady na aplikace geometrie ve výuce inženýrů. Příklady se snaží ukázat na spojení syntetických a analytických metod v geometrii a propojení výuky geometrie s matematikou a statikou. Ukazuje i některé metodické přístupy, které dovedou studenty k některým tradičním partiím planimetrie.
Keywords: geometrie, řetězovka, vrstevnice, spádnice, Apolloniovy úlohy, okenní kružba

Summary. Applications play a crutial role in teaching geometry for engineers. The suitable problems can motivate students for teaching interesting parts in geometry. Three interesting examples are presented.

Jerzy Dietrich¹, Tomasz Sulima-Samujłło²
AGH University of Science and Technology, Faculty of Applied Mathematics
30-059 Kraków, al.Mickiewicza 30, Poland,
¹e-mail: jdietrich@wp.pl²e-mail: sulsam@agh.edu.pl

Keywords: Visualization, Homothety, Transformation, Focus, AutoCAD, Cabri 3D

Gregorio Franzoni
Universita di Cagliari, Dipartimento di Matematica e Inform.,
via Ospedale 72, 09124 Cagliari, Italy
e-mail: gregoriofranzoni@yahoo.it

Abstract. The construction of material models of surfaces received a strong impulse by the development of Rapid Prototyping, a collection of techniques started at the end of the 80's to speed up the realization of prototypes in manufacturing field. In order to use RP to produce their models, surfaces must be represented as solid bodies. In this work we outline a method to define thickened models of regular surfaces by means of differential geometry methods and propose a way to treat the self-intersecting cases. The described procedure has been developed and discussed in detail in [6].
Keywords: rapid prototyping, surfaces, models.

Peter Grešák
Katedra kvantitatívnych metód a hospodárskej informatiky F PEDaS, Žilinská univerzita,Žilina, SR

Lívia Hasajová
KM TnUAD, Študentska 2, 911 01 Trenčín, SR
e-mail: hasajova@tnuni.sk

Abstract. Article describes and presents abstract operations in mathematics. Accent is put on the necessity whilst complicated mathematics cases are presented. Creation of electronic materials, which are needed for teaching mathematics by blended learning, is discussed. Means and programs, which make the presentation of complicated abstract phenomena possible, are presented.
Keywords: e-learning, Acrobat, Matlab, Mathematica, Derive, MS Power Point, Macromedia Flash, Cabri Geometria, Euklides, Computer Algebra Systems, Internet, Moodle, Toolbook

Jiří Hřebíček¹, Vladimír Žák²
¹Centrum biostatistiky a analýz, Přírodovědecká a lékařská fakulta, Masarykova univerzita,
Kamenice 125/3, 625 00 Brno, CZ
e-mail: hrebicek@cba.muni.cz
²Ústav matematiky, Fakulta strojního inženýrství, Vysoké učení technické Brno,
Technická 2, 616 69 Brno, CZ
e-mail: zakyn@centrum.cz

Abstrakt. Systém Maple je velmi výkonným počítačovým prostředím na podporu používání matematiky, které se užívá nejenom pro výpočty složitých matematických problémů a simulace reálných procesů, ale lze jej s výhodou využít i při výuce matematiky a souvisejících věd. Poskytuje totiž velmi širokou množinu funkcí, které jsou rozděleny do tzv. rozšiřujících knihoven - balíčků (packages). Příkazy jednotlivých knihoven se tématicky týkají vždy jedné konkrétní oblasti. V tomto článku se budeme zabývat možnostmi systému Maple v geometrii. Konkrétně jde o rozšiřující knihovny: plots, plottools, algcurves, geometry a geom3d

Summary. This article deals with the geometry in the Maple software. It includes procedures of four main packages which can be used in this part of Mathematics.

Masatsune Imabuchi
College of Industrial Technology, Nihon University,
2-11-1 Shinei Narashino-Shi, Chiba 275-0005, Japan
imabuchi@cit.nihon-u.ac.jp

Abstract. This paper treats some considerations on processing for introduction to 3-D CAD modeling for graphic education or computer graphics. We are always aiming to prepare the effective curriculum of Graphic Science education for beginners, using 3-D CAD software. It needs to clear the essential contents or elements of the modeling. As a first step, we tried to modify contents of "Engineering Design Graphics" curriculum at Texas University. And then we prepare original basic contents for adapting our graphic education. From educational results of basic contents for graphic education, we found some problems on modeling at introductory part, basic part and applied part by rate of finishing for modeling within setting time. And finally some basic elements to remarkable point of how to educate graphic modeling by 3-D CAD could be found as a result.
Keywords: 3-D CAD modeling, Exercise

Zuzana Juščáková¹, Dušan Šuch², Andrej Haščák³¹Katedra deskriptívnej geometrie, Vysokoškolská 4, SvF TU, 040 00 Košice, SR
e-mail: zuzana.juscakova@tuke.sk
^2,3Katedra dizajnu, Grešákova 6, FU TU, 042 00 Košice, SR
²e-mail: dusan.such@tuke.sk
³e-mail: andrej.hascak@tuke.sk

Abstrakt. Pre vzdelávanie na technických univerzitách je charakteristické, že geometria preniká do špeciálnych oblastí, kde preberá nové funkcie ich vlastného teoretického pokroku a účelu. Oboznámiť s nimi odbornú verejnosť a vniesť diskusiu do hodnotenia postavenia geometrie vo vzdelávaní umelecko-technických odborov technických univerzít si predsavzal náš príspevok.
Kľúčové slová: Deskriptívna geometria, Výtvarná geometria, Ateliér dizajnu

Mária Kmeťová
FPV UKF Nitra, Tr. A. Hlinku 1, 949 74 Nitra, SR
e-mail: mkmetova@ukf.sk

Abstract. Derivatives and hodographs of parametric curves and surfaces are very important issues in computer graphics and geometric modeling for characterization of curves and surfaces. While the algorithm to compute the derivative of polynomial curve is well understood, its rational counterpart is not; even though there have been a number of efforts. In this paper the various approaches to the given problem will be reviewed.
Keywords: Bézier curves, rational curves, derivatives, hodograph

Milada Kočandrlová¹, Hana Lakomá²
FSv ČVUT Praha, Thákurova 7, 166 29 Praha 6, ČR
¹e-mail: kocandrlova@mat.fsv.cvut.cz
²e-mail: lakoma@mat.fsv.cvut.cz

Abstrakt. Budeme hledat souřadnice stanoviště snímku známého objektu a ukážeme, že pro určení stanoviště stačí znát obrazy šesti vhodně zvolených bodů. Dále najdeme původní rovinu snímku, tj. směr optické osy fotoaparátu, kterým byl snímek pořízen. Tento směr nemusí být nutně osou snímku, snímek mohl být získán jako výřez ze snímku jiného. Rovinu snímku určíme jednoznačně až na posunutí.
Klíčová slova: kolineární zobrazení, homomorfismus, lineární forma, střed promítání

Summary. The paper deals with unknown coordinates of a position of the known photograph. They are solved and it proves that given coordinates of six points and their images are enough for determination of the position. Then an initial plane of the photograph, i.e. direction of an optical axis of the camera which made the photograph, is solved. This direction may not be an axis of the photograph. The photograph can be a section of another photograph. The plane of the photograph is uniquely determined except translation.

Miroslava Konrádová¹, Jela Kostrová²
¹SjF ŽU, Hurbanova 15, 010 26 Žilina, SR, e-mail: miroslava.konradova@fstroj.utc.sk
²SjF ŽU, Hurbanova 15, 010 26 Žilina, SR, e-mail: jela.kostrova@fstroj.utc.sk

Abstrakt. Článok popisuje jednu z možností využitia počítačového prostredia MATLAB pri vyučovaní počítačovej geometrie na technických univerzitách. Uvádzajú sa v ňom konkrétne príklady modelovania kriviek v E3 prostredníctvom MATLAB-u.
Kľúčové slová: MATLAB, PC - krivka, bázová matica, matica algebrických hodnôt, matica geometrických hodnôt, interpolácia, aproximácia.

Summary. The article deals with one of the ways of uses of computer system MATLAB to education of computer graphics at technical universities. There are some exercises of modelling of curves in E3 through the computer system MATLAB.

Soňa Kudličková
FMFI UK, Mlynská dolina, 842 48 Bratislava, SR
e-mail: kudlickova@fmph.uniba.sk

Abstract. The shape at the extremes of the curve can be changed with various end conditions. The list of variety of end conditions is presented with solution in additional vector equations that are added to the linear system of vector equations obtained after applying C2-continuity condition at the joint of two adjacent segments, to get Hermite cubic spline.
Keywords: Hermite interpolation, parametric continuity condition, end conditions

Marie Kupčáková
PdF UHK, Rokitanského 62, 500 03 Hradec Králové, ČR
e-mail: Marie.Kupcakova@uhk.cz

Abstrakt: V příspěvku jsou sestrojeny některé prostorové útvary z Dürerovy mědirytiny Melancholie ve středovém promítání (v lineární perspektivě) a porovnány s originálem.
Klíčová slova: lineární perspektiva, Albrecht Dürer

Summary. Basic principles of central projection and projective geometry have been used while reconstruction of original construction of Dürer's copper engraving Melencolia. A conclusion has been formulated that the author might have represented rounded objects, but he could have also made several mistakes in construction of the perspective views of the polyhedron and ladder. The conclusions are supported by computer aided constructions and photographs.

Ivana Linkeová
FS ČVUT v Praze, Karlovo nám. 13, 121 35 Praha 2, ČR
e-mail: Ivana.Linkeova@fs.cvut.cz

Abstrakt: Za nevýhodu Fergusonova plátu, který patří k základním interpolačním modelům obecných tvarových ploch definovaných sítí bodů, je považována skutečnost, že není obsažen v konvexním obalu svých definičních prvků. Konverzí Fergusonova plátu na Bézierův lze za konvexní obal Fergusonova plátu považovat síť řídicích bodů Bézierova plátu. V článku jsou odvozeny potřebné převodní vztahy mezi Fergusonovým a Bézierovým plátem.
Klíčová slova: Fergusonova kubika, Fergusonovy polynomy, Fergusonův plát, Bézierova kubika, Bernsteinovy polynomy, Bézierův plát, tenzorový součin, konvexní obal

Summary. In the article, the interrelationship between Ferguson 12-vector patch and Bézier bicubic patch is presented. Ferguson patch belongs to basic interpolation models of free form surfaces given by spatial net of point. The no-existence of convex hull property of Ferguson patch can be considered as a disadvantage of this model. After conversion of the Ferguson patch to the Bézier one, the convex hull can be given by spatial net of Bézier control points. The needed conversion relations are derived.

Iveta Markechová
MtF STU, Paulínska 16, 917 24 Trnava, SR
e-mail: mark@mtf.stuba.sk

Abstract. The aim of this paper is to present time dependences and phase trajectory of Lorenz system numerical solution with respect to r-parameter choice and to note the diversity of the Lorenz system numerical solutions. A computer with an appropriate software (Mathematica, in this case) serves as unavoidable tool.
Keywords: chaos, Lorenz system, nonlinear differential equation, strange attractor, computer experimental geometry

Henryk Merta¹, Stanisław Sulwiński², Krzysztof T. Tytkowski³
Department of Chemical and Process Apparatus Construction, Silesian University of Technology,
44-100 Gliwice, ul. Strzody 7, Poland
¹e-mail: henryk.merta@polsl.pl,
²e-mail: stanislaw.sulwinski@polsl.pl, ³e-mail: krzysztof.tytkowski@polsl.pl

Abstract: The next text brings a quality assessment of the scientific discipline descriptive geometry. Historical references and calling the aims of this science are presented. Change of the paradigm of discipline in the direction of creating geometrical models. Thinking geometrical is one of the basic ways of modelling the world and building the scientific silhouette of contemporary engineer.
Keywords: descriptive geometry, history of science, history of mathematics, philosophy of science, science paradigm

Pavel Novotný
F PEDaS, Žilinská univerzita, Univerzitná 1, 010 26 Žilina, SR
e-mail: Pavel.Novotny@fpedas.utc.sk

Abstrakt: V práci je nájdené najmenšie číslo V3 také, že každý systém troch kociek s celkovým objemom 1 sa dá uložiť do kvádra s objemom V3.
Kľúčové slová: pakovanie kociek

Summary. Any system of three cubes of total volume 1 can be packed into a box of volume at most 1,44009951.

Krzysztof Pałac¹, Tomasz Wieja²
AGH University of Science and Technology, Faculty of Applied Mathematics,
30-035 Kraków , al.Mickiewicza 30, Poland
¹e-mail: kmbp@interia.pl, ²e-mail: twieja@poczta.fm

Jana Procházková¹, David Procházka²
¹FSI VUT, Technická 2896/2, 616 69 Brno, CZ, e-mail: jprochazkova@gmail.com
²MZLU v Brně, Zemědělská 1, 613 00 Brno, CZ, e-mail: xproch17@pef.mendelu.cz

Abstract: Most of computer graphic software contains NURBS - Non-Uniform Rational B-Splines because of its good control possibilities. General NURBS surfaces are difficult for modeling - they contain many parameters which is not user-friendly. So, most of software (Maya, FormZ, Rhino, etc.) offers basic solids like NURBS. In this paper, we show the implementation of NURBS surfaces in C++ in engineering software. We joint on some critical parts.
Keywords: NURBS, cone, cylinder, C++

Darina Stachová
FPV ŽU v Žiline, Hurbanova 15,010 26 Žilina, SR
e-mail: darina.stachova@fpv.utc.sk

Abstrakt: Interakcia v systéme vozidlo jazdná dráha predstavuje aktuálny problém, ktorému venujú pozornosť inžinieri na celom svete. Predkladaný príspevok je venovaný matematickému popisu funkcie P(x) popisujúcej trajektóriu náboja na kolese a nahradzujúcu skutočný tvar nerovnosti v jazdnej dráhe y(x), ak túto nerovnosť predstavuje určitá časť zovšeobecnenej sínusoidy.
Kľúčové slová: trajektória, zovšeobecnená sínusioda, aproximačný polynóm.

Summary. Interaction in the vehicle-road system represents a current problem, which is a focus of engineers around the world. Presented contribution is dedicated to a mathematical description of a function P(x) describing the trajectory of the wheel hub, and replacing the real shape of an unevenness of a road y(x) which is represented by a specific part of the generalized sine-wave.

Stanisław Sulwiński¹, Krzysztof T. Tytkowski²
Geometry and Engineering Graphics Centre, Silesian University of Technology, ul. Krzywoustego 7, 44-100 Gliwice, Poland
¹e-mail: stanislaw.sulwinski@polsl.pl
²e-mail: krzysztof.tytkowski@polsl.pl

Abstract: Short history of Geometry and Engineering Graphics Centre (GGEG) in Silesian University of Technology (SUT) at Gliwice (Poland)(1945 - 2001) against a background of the history of polish descriptive geometry from 1844 to 2001 years.
Keywords: descriptive geometry, history of science, history of the SUT.

Zuzana Študencová
SvF STU, Radlinského 11, 813 68 Bratislava, SR
e-mail: studenc@math.sk

Abstrakt: Článok opisuje nelineárne transformácie. Zámerom je podať pohľad na grafiku útvarov, rovinných i priestorových, ktoré podliehajú nelineárnej transformácií.
Kľúčové slová: nelineárne transformácie, stopy kriviek, stopy plôch, fázové stopy

Summary. In the paper there is described trace line (or trace surface) or trace phase in graphic nonlinear transforms. The phase trace is sets of curves (surfaces) continuous deformation of object by nonlinear transformation

Margita Vajsáblová
SvF STU, Radlinského 11, 813 68 Bratislava, SR
e-mail: gitka@stuba.sk

Abstrakt: Cieľom príspevku je informovať o výučbových kurzoch pre geometrické predmety na Stavebnej fakulte STU v Bratislave vytvorených pedagógmi v internetovom prostredí MOODLE. Článok ukazuje nástroje tohto systému podporujúce výučbu a testovanie vedomostí špeciálne z geometrie a jej aplikácií na inžinierskych odboroch, vyzdvihuje dynamickosť systému a možnosti internetovej komunikácie medzi účastníkmi kurzov. a zároveň upozorňuje na nedostatky jeho používania na hodnotenie geometrických zručností.
Kľúčové slová: e-learning, Moodle, nástroje, zdroje, aktivity

Summary. The present paper gives information about our experience with teaching of geometry at the Faculty of Civil Engineering STU in Bratislava by using of the courses, which the groupe of theachers created in internet enviroment MOODLE. We show the tools of this system supporting teaching, studying and testing the geometry knowleadge. In this article we emphasize the dynamism of MOODLE, the possibilities of internet communication among users of courses and also we show disadvanteges of this system for testing and evaluation of geometric skills.

Daniela Velichová¹, Svatopluk Zachariáš²
¹SjF STU Bratislava, Slovenská republika, e-mail: daniela.velichova@stuba.sk
²Plzeň, Česká republika, e-mail: svataluda@seznam.cz

Abstrakt: Príspevok obsahuje niekoľko úvah o pravidelných platónovských mnohostenoch, ich geometrických vlastnostiach a vnútorných súmernostiach, a prináša niekoľko ilustrácií prírodných kryštálov v tvare pravidelných telies.
Kľúčové slová: Pravidelné mnohosteny, osové súmernosti, kryštalické sústavy

Summary: Paper brings some ideas on regular platonic polyhedra and their geometric properties and inner symmetries, while several illustrations of natural crystals in the form of regular solids are presented.
Key Words: Regular polyhedra, axial symmetries, crystalographic systems

Šárka Voráčová
Dopravní fakulta ČVUT v Praze, Na Florenci 25, 110 00, Praha 1,ČR
e-mail: voracova@fd.cvut.cz

Abstrakt: Příspěvek se zabývá možnostmi efektivní výuky základů diferenciální geometrie na technických vysokých školách. Pro snadnější základní výpočty diferenciální geometrie ve dvou a tří dimenzionálním Euklidovském prostoru jsem vytvořila knihovnu diffgeometry. V příspěvku jsou uvedeny předpoklady pro její užití, názorné příklady a zkušenosti s jejím užitím ve výuce.
Klíčová slova: Počítačové algebraické systémy (PAS), křivost, torze, rotační plochy, šroubové plochy

Summary. Maple, thanks to the interactive interface, symbolical calculation and thanks to the easy graphical outputs is very convenient tool for the study of curves and surfaces. To simplify a essential calculations at differential geometry we create a special package diffgeometry. Article describes the assumptions of its utilization.

Edita Vranková
KMaI PdF TU, Priemyselná 4, 918 43 Trnava, SR
e-mail: evrankov@truni.sk

Abstrakt. Rozvíjanie priestorovej predstavivosti a geometrického myslenia stredoškolských študentov (gymnázií) môžu podporovať aj úlohy na určovanie množín bodov danej vlastnosti v priestore riešené syntetickou metódou. Správnosť domnienky o hľadanej množine bodov možno interaktívne a dynamicky overiť a uľahčiť jej dôkaz využitím didaktického programu Cabri geometria II, pomocou ktorého si navyše môžu aj menej zruční študenti nakresliť úhľadný obrázok. Hlavným cieľom článku je ukázať na jednom konkrétnom neštandardnom stereometrickom zaujímavom príklade uvedené možnosti programu Cabri.
Kľúčové slová: IKT, stereometria, priestorová predstavivosť, množiny bodov danej vlastnosti v priestore, program Cabri geometria II

Summary. The school tasks about the sets of all points given property in space, solved by synthetic method, belong to more difficult but interesting from didactical point of view. They are suitable for developing of spatial imagination, logical thinking and creativity. We can verify interactively and dynamically the hypothesis correctness about wanted set of points very good and make easier its proof using didactical program Cabri geometry II. This program gives possibility to draw graceful picture also to less handy students. The main goal of presented paper is to show the mentioned properties of Cabri by one concrete example.

Tomasz Wieja
AGH University of Science and Technology, Faculty of Applied Mathematics,
30-059 Kraków, al.Mickiewicza 30, Poland
e-mail : twieja@poczta.fm

Keywords: triangulation method, antique object, measurement, AutoCad, architectonic object

Vladimír Žák¹, Dalibor Martišek²
Institute of Mathematics, Faculty of Mechanical Engineering Brno University of Technology,
Technická 2, CR - 616 69, Brno, Czech Republic
¹e-mail: zakyn@centrum.cz
²e-mail: martisek@fme.vutbr.cz

Published results were acquired using the subsidization of the Ministry of Education, Youth and Sports of the Czech Republic, research plan MSM 0021630518 "Simulation modelling of mechatronic systems".