Contents 2003

ZBORNÍK SYMPÓZIA

O POČÍTAČOVEJ GEOMETRII

SCG´2003

Album

PROCEEDINGS OF SYMPOSIUM

ON COMPUTER GEOMETRY

SCG´2003

Volume 12

Slovak Society for Geometry and Graphics

Mechanical Engineering Faculty

Civil Engineering Faculty

Slovak University of Technology in Bratislava

September 2003, Kočovce, SR

ISBN 80-227-1914-5

Contents

J. Błahut: Epsilon-Nets of Self-Similar Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	5
M. Božek: On Periodical Placements with Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	9
E. Capková: Špeciálne triedy splajnových kriviek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	14
J. Čižmár: Hilbertovské a iné neeuklidovské konštrukcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	20
M. Doležal, J. Doležalová: Konstruktivní geometrie v bakalářském studiu. Jak dál? . . . . .	27
M. Gawron, A. Koch, A. Lankosz, T. Sulima-Samujłło: Visualization of 3D Objects by Means of Computer Programs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	31
H. Gliński: Partial Restitution of a Three-Dimensional Object Based on a Photographic Picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	38
H. Gliński, E. Koźniewski: Poncelet's Configuration - Implementation in Maple and Prolog's Programs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	42
R. A. Górska: On a Longitudinal Study of Spatial Abilities of Civil Engineering Students in Poland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	46
M. Imabuchi: On Analysing Graphic Curriculum, Using 3D-CAD Software . . . . . . . . . . . .	50
M. Kaštieľ, P. Adamko, J. Zelem: Zobrazovanie kriviek a plôch zo štvor-rozmerného Euklidovského priestoru do roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	54
M. Konrádová, J. Kostrová, J. Oktavcová, P. Tomašovič: Plochy technickej praxe a ich zobrazenie pomocou programovacieho jazyka IRIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	59
B. Koreňová: Geometrický svet vežičiek a potrubí - prieniky telies . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	63
S. Kudličková:. More about C-B Spline Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	69
A. Liber: New Type of Symmetric Watermarks for Electronic and Printed Images . . . . . .	72
D. Lizoňová, M. Pajtášová: Výučba deskriptívnej geometrie v bakalárskom štúdiu . . . . . .	76
K. Maleček, D. Szarková: Lokální parametrizace funkce dvou proměnných . . . . . . . . . . . .	80
H. Merta, S. Sulwiński: Present Changes in Paradigm of Descriptive Geometry . . . . . . . .	84
T. Olejníková: Ihlan zaoblený guľovou alebo interpolačnou plochou . . . . . . . . . . . . . . . . .	86
E. Pavelová: Perspektívne zobrazenie cestnej komunikácie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	90
J. Pech: Simulation of Motion of Parallel Robot-Manipulators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	94
D. Richtáriková: Translácie v iterácii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	98
P. Rys, M. Prokopová: Riemann`s Lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	102
Ž. Schewczuková: Kónická skrutková plocha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	105
E. Stanová: O uzavretej krivke s konštantnou krivosťou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	109
Z. Tereňová: Priamky na niektorých plochách 4. stupňa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	113
K. T. Tytkowski: Auto FC - Program for Curves Generation in AutoCAD Environment .	117
V. Vavrinčíková, E. Baranová: Generovanie lopatkových profilov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	121
D. Velichová: Geometry on Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	125
E. Vranková: Ukážka použitia množiny D(M, N) pri plánovaní pohybu robota . . . . . . . . . .	129
Z. Zámožíková: Môj pohľad na Mongeovu projekciu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	133
M. Zimányi, K. Dařílková: Building Extraction from Footprints and Aerial Images . . . . . .	137
A. Żaba: The Geometric Theme in the Baroque Drawing of Bartholomäus Strobel . . . . . .	141
Zoznam účastníkov seminára - List of Participants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	145

Jerzy Błahut
Instytut Elektroniki Politechniki Śląskiej, ul. Akademicka 16, 44-100 Gliwice, Polska
e-mail: ewa.blahut@womkat.edu.pl

Miloš Božek
Comenius University, Faculty of Mathematics, Physics and Informatics, Mlynská dolina, 842 48 Bratislava, SR
e-mail: bozek@fmph.uniba.sk

Abstract. In many industries we encounter the task of placement of plane figures over a plane domain when only translations of figures are allowed, see e.g. [4], [5] or [6]. A simple but useful tools for solving such problems are periodical layouts. The aim of the present paper is to study periodical placements of polygons combined with central symmetries.
Keywords: Polygon, translation, central symmetry, overlapping, densely placed polygons.

Eva Capková
KAGD, FPV, ŽU v Žiline, Hurbanova 15, 010 26 Žilina, SR
e-mail: capkova@fpv.utc.sk

Abstrakt. V množine všetkých polygónov majú výnimočné postavenie uzavreté polygóny, t.j. n-uholníky. Každý n-uholník môžeme považovať za riadiaci polygón uzavretej splajnovej krivky. Existujú špeciálne triedy n-uholníkov, tzv. cyklické triedy. Tento príspevok sa zaoberá vzťahom medzi n-uholníkom ako prvkom cyklickej triedy a splajnovou krivkou, pre ktorú je n-uholník riadiacim polygónom.
Kľúčové slová: rovnomerná uzavretá B-splajnová krivka, cyklická trieda n-uholníkov

Summary. Each polygon can be considered as a control polygon of a closed B-spline curve. There exist special classes of polygons, called cyclic classes. The relationship between the polygon as an element of a cyclic class and the uniform closed B-spline curve with this control polygon is discussed in the presented paper.

Ján Čižmár
FMFI UK, Katedra geometrie, Mlynská dolina, 842 48 Bratislava, SR;
e-mail: cizmar@fmph.uniba.sk
PdF UK, Katedra matematiky, Račianska 59, 813 34 Bratislava, SR;
e-mail: cizmar@fedu.uniba.sk

Abstrakt. V práci sú uvedené tri triedy geometrických konštrukcií, ktoré nie sú euklidovské: konštrukcie pomocou pravítka a odpichovadla s pevným rozponom (hilbertovské konštrukcie), konštrukcie pomocou nasúvacieho pravítka a konštrukcie pomocou dvoch pravouhlých pravítok. Prvá trieda je podmnožinou triedy euklidovských konštrukcií, ostatné dve triedy triedu euklidovských konštrukcií obsahujú ako vlastnú podmnožinu.
Kľúčové slová: odpichovadlo, nasúvacie pravítko, pravouhlé pravítko, hilbertovské konštrukcie

Summary. Three classes of non-euclidean geometric constructions in the elementary geometry of euclidean plane are described: the constructions with a ruler and a divider compass with a fixed span (Hilbert constructions), the ones with an insertion ruler and the last with two perpendicular rulers.
Key words: ruler, divider compass with a fixed span, insertion ruler, perpendicular ruler, Hilbert constructions, non-euclidean constructions

Milan Doležal¹, Jarmila Doležalová²
VŠB - TU Ostrava, 17. listopadu 15, 708 33 Ostrava - Poruba
e-mail: ¹milan.dolezal@vsb.cz, ²jarmila.dolezalova@vsb.cz

Abstrakt. V bakalářské etapě strukturovaného studia na strojní fakultě Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava je pro většinu studentů nejvíce problémovým předmětem konstruktivní geometrie. I přes úpravu osnov a snížení požadavků k zápočtu a zkoušce nedošlo k výraznému zlepšení studijních výsledků. Spolu s vedením fakulty hledáme řešení tohoto problému.
Klíčová slova: strukturované studium, bakalářská etapa, konstruktivní geometrie

Summary. The purpose of the changeover to a structured study (model 3-5-8) is primarily to enhance the now low passage of students to higher academic years. Constructive geometry is the greatest problem for most of students. How to go on with teaching of constructive geometry?

Marek Gawron¹, Andrzej Koch², Adam Lankosz³, Tomasz Sulima-Samujłło⁴
AGH University of Science and Technology, Faculty of Applied Mathematics
30-059 Kraków, al.Mickiewicza 30, Poland,
e-mail: ¹mgawron@wms.mat.agh.edu.pl, ² koch@agh.edu.pl, ³awip@interia.pl, ⁴sulsam@agh.edu.pl

Abstract. In the paper we present a comprehensive visualization of selected examples of two technical objects. The visualization contains pictures taken of the objects in jpg format by means of digital camera, execution of dimensioned projections, raster images worked out in GIMP, 3D modeling as well as front, top and side views carried out in AutoCAD and views of objects accomplished in vectorial technique in the Corel Draw program. The results of the operations performed in each software have been exported to Corel. The authors believe that presented problems can come in useful at the branches of studies where visualization is required.
Keywords: technical objects, visualization, dimensioned projections, GIMP, 3D modeling AutoCAD, Corel Draw

Henryk Gliński
Institute of Mathematics, Silesian University of Technology, Gliwice, Poland
e-mail: hglinski@polsl.gliwice.pl

Abstract. The paper presents a simple method of rectification and partial restitution of three-dimensional objects given by photographic picture, based on a computer program Kolimbit . It is possible to measure planar walls and orthogonal sections directly from a suitably transformed photo.
Keywords: rectification, restitution, photogrammetry, photographic picture

Henryk Gliński¹, Edwin Koźniewski²
¹Silesian University of Technology, Gliwice, Poland, e-mail: hglinski@polsl.gliwice.pl
²Bialystok University of Technology, Białystok, Poland, e-mail: edwikozn@cksr.ac.bialystok.pl

Renata A. Górska
CUT, Faculty of Architecture, A-9, Warszawska 24, 31-155 Kraków, PL
e-mail: rgorska@pk.edu.pl

Abstract. Spatial abilities of engineering students have been measured by various testing instruments since many years all over the world. The tests results are statistically evaluated and discussed. In this paper the author analyzes some results obtained in spatial abilities research over a few years at the Cracow University of Technology. Some new directions of the research development will be defined.
Keywords: Spatial abilities, Graphics education, Mental Rotations Test

Masatsune Imabuchi
2-11-1 Shinei, Narashino-Shi, Chiba-Ken 275-0005 JAPAN,
e-mail:imabuchi@cit.nihon-u.ac.jp

Abstract. This study aims to prepare the effective semestral curriculum of Graphic education for freshmen in engineering course, using 3-D CAD software. For this, the contents of the subjects at each teaching stage should be analyzed by the functions of CAD software that are used in processing the tasks for the subjects. Considerations of the process have done according to the results of analysis, and the contents have been discussed by the results of analysis, and it was found that the value of each function was available to indicate the level of difficulty. Finally, we could get some information for preparing a model at each teaching stage.
Keywords: effective curricula, graphic education, 3-D CADD, level of difficulty

Matej Kaštieľ¹, Peter Adamko², Ján Zelem³
Katedra matematiky, Fakulta prevádzky a ekonomiky dopravy a spojov,
Žilinská univerzita v Žiline, Moyzesova 20, 01026 Žilina
^{e-mail: 1}Matej.Kastiel@fpedas.utc.sk, ²Peter.Adamko@fpedas.utc.sk, ³Jan.Zelem@fpedas.utc.sk

Abstrakt. Článok sa zaoberá zobrazovaním kriviek a plôch zo štvorrozmerného priestoru do roviny . Krivky a plochy sú dané parametrickými rovnicami.
Kľúčové slová: krivka, plocha, štvorrozmerný priestor

Summary. Results described by this paper were applied for development of the program, which allows visualization of curves and surfaces in the arbitrary subspace. The program enables interactive changing the density of lattice of the drawn surfaces and coefficients of the transformation formulas. This way it is possible to change the coordinate system. The program is described in Delphi language and it is completed with library of the examples.

Miroslava Konrádová¹, Jela Kostrová², Jarmila Oktavcová³, Peter Tomašovič
SjF ŽU, Hurbanova 15, 010 26 Žilina, SR
e-mail: ¹konradova@kam.utc.sk, ²kostrova@kam.utc.sk, ³oktavc@kam.utc.sk

Abstrakt. Príspevok sa zaoberá jednou z možností využitia počítačov vo výučbe konštruktívnej geometrie najmä na technických univerzitách. Je zameraný na ukážky zobrazenia rôznych technických plôch, ktoré pre budúcich strojných inžinierov predstavujú jednu z najdôležitejších častí konštruktívnej geometrie. Ukážky sú vytvorené v programo-vacom jazyku IRIT.
Kľúčové slová: geometria, krivky, plochy, geometrické modelovanie súčiastok, IRIT

Summary. The paper presents one of many possibilities of uses of PC on geometry`s lessons, mainly on Technical universities. It focuses on some illustration of different technical surfaces which are one of the most important parts of Descriptive Geometry. Illustrations are made in IRIT.

Božena Koreňová
KMDG DF TU vo Zvolene, Masarykova 24, 960 53 Zvolen, SR
e-mail: korenova@vsld.tuzvo.sk

Abstrakt. V prvej časti rozoberáme význam geometrie pre zdokonaľovanie priestorovej inteligencie a jej vplyv na rozvoj ostatných schopností. V druhej časti sa venujeme prienikom telies a uvádzame spôsob výučby a zadávania grafických prác.
Kľúčové slová: priestorová inteligencia, vývoj foriem a tvarov, kostolné veže, prieniky telies, plášte prenikajúcich sa telies.

Summary. The first part of the paper deals with the importance of geometry for improvement of the 3D intelligence and its influence on the development of other abilities. The second part is devoted to intersections of solids, teaching strategies and graphic work assignments.

Soňa Kudličková
FMFI UK, Mlynská dolina, 842 48 Bratislava, SR
e-mail: kudlickova@fmph.uniba.sk

Abstract: The basis [ sin t cos t t 1 ] is suggested for C-Bspline curves. The definition formula to approximate the C-Bspline curve is replaced by the subdivision procedure and the subdivision matrices C , {0,1} are derived.
Keywords: C-Bsplines, subdivision procedure, convergence

Arkadiusz Liber
Computer Science Department, Wroclaw University of Technology
Wybrzeze Wyspianskiego 27, 50-370 Wroclaw, Poland
e-mail: liber@ci.pwr.wroc.pl

Abstract. The rapid development of electronic information distribution methods and technologies has boosted the demand for new types of algorithms to protect the content of and copyrights to documents. One way of protecting electronic information is to embed invisible signatures and information layers in it. This paper presents a new type of invisible symmetric image watermarks. By introducing a crystal lattice-like structure into the image, a high resistance of the invisible signature not only to typical graphical deformations but also to nonlinear scanning and printing processes has been achieved.
Keywords: invisible watermarks, electronic documents protection, symmetric watermarks

Denisa Lizoňová¹, Marta Pajtášová²
KMDg TU Zvolen, Masarykova 24, 96001 Zvolen, SR
e-mail: ¹lizonova@vsld.tuzvo.sk

Summary. The excellent graphical presentation is the most important component of the designer's work. That is the reason why DESCRIPTIVE GEOMETRY is so important for education branch "Interior design". The main role of DESCRIPTIVE GEOMETRY is to equip the students with screening methods and their applications. In connection to other subjects, the graduates receive the necessary knowledge for their qualitive work.

Kamil Maleček¹, Dagmar Szarková²
¹FSv ČVUT Praha, Thákurova 7, 166 29 Praha 6, ČR, e-mail: kamil@mat.fsv.cvut.cz
²SjF STU Bratislava, Nám. slobody 17, 812 31 Bratislava, SR, e-mail: szarkova@sjf.stuba.sk

Abstrakt: Obsahem příspěvku je zavedení lokální parametrizace části grafu funkce dvou proměnných pomocí změny parametrizace, která je realizována přechodem od kartézských k polárním souřadnicím. Dále je uvedeno několik aplikací lokální parametrizace v matematice.
Klíčová slova: lokální parametrizace, parametrické křivky plochy, graf funkce dvou proměnných, polární souřadnice, složená funkce, derivace ve směru, substituce ve dvojném integrálu.

Summary. In this paper we introduce a local parameterisation of the two-variable function graph patch by a transformation of Cartesian co-ordinate system to polar co-ordinate system. Moreover, several applications of local parametrisation for compose functions, limits, derivatives in the direction, substitution in multiple integrals are presented.

Henryk Merta, Stanisław Sulwiński
Silesian University of Technology, Gliwice, POLAND
e-mail: sulwin@polsl.gliwice.pl

Abstract. Few ideas on the future development of en gineering education in Geometry and related subjects are discussed.
Keywords: geometric education of engineers

Tatiana Olejníková
SvF TU, Vysokoškolská 4, 042 00 Košice
e-mail: tatiana.olejnikova@tuke.sk

Abstrakt: V článku je riešené zaoblenie diamantového hrotu v tvare ihlana, ktorý sa používa na zisťovanie niektorých vlastností kovového hutníckeho materiálu (napr. meranie tvrdosti povrchu). Ihlanový hrot so štvorcovou alebo obdĺžníkovou podstavou môže byť zaoblený guľovou plochou alebo interpolačnou plochou.
Kľúčové slová: diamantový hrot, guľová plocha, interpolačná plocha

Summary. The paper deals with a rounded diamond center in pyramid design, which is applied to detect some properties of metallurgical material (e.g. for measuring the grade of a surface). Pyramid center with a quadratic or rectangular bottom can be rounded by a spherical or interpolation surface.

Eva Pavelová
SvF TU v Košiciach, Vysokoškolská 4, Košice
e-mail: pavelovae@post.sk

Abstrakt. Pri projektovaní cestnej komunikácie je potrebné zistiť, ako návrh zapadne do okolia, či sa ním nenaruší harmónia prostredia. Daná situácia sa zakresľuje použitím zobrazovacích metód deskriptívnej geometrie. Tento článok popisuje jeden zo spôsobov perspektívneho zobrazenia.
Kľúčové slová: lineárna perspektíva, trasa komunikácie, niveleta, zmeny mierky

Summary. This paper deals with the methods the linear perspective of road communication. Engineers apply this method in their practice.

Abstract. This article describes the generation of a program for the simulation of the motion of parallel robot-manipulators. The program was made by the help of OpenGL graphics.
Keywords: Parallel robot-manipulator, OpenGL graphics, hexapod.

Daniela Richtáriková
SjF STU, Námestie slobody 17, 812 31 Bratislava, SR
e-mail: richtarikova@sjf.stuba.sk

Abstrakt. V príspevku je naznačený spôsob vytvárania skupiny rovinných fraktálov prostredníctvom IFS postupným skladaním vhodnej základnej afinnej transformácie priamo v iteračnom procese s ďalšími vybranými zobrazeniami, a to transláciou po čiare a rovnoľahlosťou. Vkladaná transformácia predstavuje pomerne jednoduchý riadiaci prvok, ktorý určuje celkový charakter fraktálu a ktorým môže byť jeho tvorba regulovaná. Článok volne nadväzuje na [2] , kde bola použitá rotácia.
Kľúčové slová: fraktál, IFS, translácia, rovnoľahlosť

Summary. The paper deals with plane fractal modelling using translation on curve and homothety as an additional but controlling building generator.

Petr Rys1, Magdalena Prokopová2
1KM PF UJEP, České mládeže 8, 40096 Ústí nad Labem, CZ, e-mail: rysp@pf.ujep.cz
2KM PF UJEP, České mládeže 8, 40096 Ústí nad Labem, CZ, e-mail: prokopova@pf.ujep.cz

Key words: infinitely small quantity, topological space, differential geometry

Žofia Schewczuková
SvF TU, Vysokoškolská 4, 042 00 Košice, SR,
e-mail: Zofia.Schewczukova@tuke.sk

Abstrakt. V článku je popísané vytvorenie a matematické vyjadrenie kónickej skrutkovej plochy s určujúcou krivkou danou parametrickými rovnicami.
Kľúčové slová: rotačná kužeľová plocha, kónická skrutkovica, kónická skrutková plocha, transformácia

Summary. The paper deals with the parametric expression of conical helical surface with determinig curve describing by the parametric equations.

Eva Stanová
SvF TU, Vysokoškolská 4, 042 00 Košice, SR
e-mail: eva.stanova@post.sk

Abstrakt. V príspevku je ukázaný spôsob, akým možno vytvoriť v euklidovskom priestore uzavretú regulárnu priestorovú krivku, ktorá má konštantnú prvú krivosť. Táto krivka je zložená z oblúkov cylindrickej skrutkovice o rovnakých prvých krivostiach.
Kľúčové slová: priestorová krivka, krivosť krivky, cylindrická skrutkovica

Summary. This paper describes the construction of the regular closed space curve with constant curvature. The curve is composed from four arcs of the circular helicis. Each of them is derived from the circular arc laying on the face and being tangent to the edges of the cube.

Zuzana Tereňová
SjF STU, Námestie slobody 17, 812 31 Bratislava, SR
e-mail: terenova@sjf.stuba.sk

Abstrakt. Práca sa zaoberá plochami 4. stupňa a problémom počtu singulárnych bodov a počtu priamok, ktoré tieto plochy obsahujú. Špeciálne sú to niektoré plochy so štyrmi lineárne nezávislými singulárnymi bodmi, z ktorých sú dva trojnásobné a dva dvojnásobné body plochy.
Kľúčové slová: projektívny priestor, algebrická plocha, singulárny bod

Summary. Smooth and singular surfaces of degree 4 in projective space, the number of singular points and the number of lines on these surfaces are discussed in the paper. In more details some quartic surfaces with four linear independent singular points, where two of them are triple and remaining two are double points of surface, are presented.

Krzysztof T. TYTKOWSKI
Geometry and Engineering Graphics Centre, Silesian University of Technology
44-100 Gliwice, ul Krzywoustego 7, Poland
e-mail: kttytkow@polsl.gliwice.pl

Abstract. The paper presents assumptions and realisation of a program for curves generation in CAD environment. Although nowadays there are great possibilities of mathematical programs within the scope of curves generation, majority of CAD programs give possibilities of drawing only conical curves.
Keywords: generate curves, AutoCAD

Viola Vavrinčíková¹, Eva Baranová²
¹SjF TU, Letná 9, 042 01 Košice, SR
²SvF TU, Vysokoškolská 4, 042 00 Košice, SR, e-mail: eva.baranova@tuke.sk

Abstrakt. Práca sa zaoberá geometrickou konštrukciou a matematickým vyjadrením aerodynamických profilov lopatiek. Vychádzame pritom z transformácie kružnice a priamky. Ďalej poukážeme na možnosť generovania aerodynamických profilov pomocou 6-parametrického rovinného mechanizmu. Matematické vyjadrenia generovaných kriviek reprezentujú parametrické rovnice, ktoré odvodíme v závislosti od pohybu hnacieho člena mechanizmu. Záverom práce sa budeme venovať analýze vplyvu parametrov mechanizmu na tvar a veľkosť generovaných lopatkových profilov.
Kľúčové slová: lopatkové profily, generovanie lopatiek

Summary. The paper deals with the geometrical construction of the blade aerodynamic profiles and their mathematical expression. We proceed from the transformation of a circle and a line. Generation of the aerodynamic profiles was demonstrated by the 6-parameter plane mechanism. The generated curves are represented by parametric equations. The effect of mechanism parameters on the form and size of generating profiles is analysed.

Daniela Velichová
SjF STU, Nám. slobody 17, 812 31 Bratislava, SR
e-mail: velichov@sjf.stuba.sk

Abstract. In the paper, there is presented an approach to the e-based educational course design applied in the Xmath project, which is focused on design strategies and development of electronic courses on Mathematics on Internet utilising the semantic web pages. The aim of the project Xmath is an optimal usage and synergy of the pedagogical methods applied in a classical educational process with teacher in the classroom, and the brand new information and communication technologies including Internet in a new form of the pedagogical categories, a virtual classroom.
Keywords: e-learning, semantic web, XML documents, MathML coding

Edita Vranková
KMaI PdF TU, Priemyselná 4, 918 43 Trnava, SR
e-mail: evrankov@truni.sk

Abstrakt. Cieľom článku je ukázať predovšetkým jedno použitie množiny D(M,N) hustých rozmiestnení dvoch konvexných mnohouholníkov M, N na určenie bezpečnej zóny posuvného pohybu robota okolo prekážok v miestnosti, ale aj podstatu nájdenia najkratšej cesty pevného bodu robota v grafe viditeľnosti zo začiatočnej do cieľovej polohy pomocou tzv. Dijkstrovho algoritmu. Pôdorysy robota, prekážok aj miestnosti sú konvexné mnohouholníky.
Kľúčové slová: robot, mnohouholník, množina D(M,N), bezpečná zóna

Summary. This paper above all shows one use of the set D(M,N) for the solution of a polygonal robot motion planning problem among disjoint polygonal obstacles, specially to determine safe zone of motion. The shortest path can be compute by Dijkstra's algorithm in visibility graphs.

Zuzana Zámožíková
KM Pedagogická fakulta UK, Račianska 59, 813 34 Bratislava, SR
e-mail: yuyana@excite.com

Abstrakt. Cieľom článku je poukázať na niektoré zjednodušenia v Mongeovej projekcii.
Kľúčové slová: Mongeova projekcia, stopa, stopník, os x

Summary. Paper deals with some problems of teaching Monge projection at the technical university courses on engineering geometry.

Zimányi Marek¹ Dařílková Kateřina²
FMFI UK, Mlynska dolina, 842 48 Bratislava, SR
e-mail:, ¹zimanyi@fmph.uniba.sk, ²darilkova@fmph.uniba.sk

Abstract. This paper describes a method of building extraction from aerial image and footprints (polygonal shape) of building. Every method for building extraction depends on input data. Input data are aerial photos, footprints of buildings and digital terrain map. The results are promising and allow for extraction of buildings with the precision depending on input data.
Keywords: Building extraction, Aerial data

Antonina ŻABA
Politechnika Śląska w Gliwicach, 44-100 GLIWICE, ul. Akademicka 5 / 306, Polska
e-mail: azaba@polsl.gliwice.pl

Abstract: The paper presents the progress of research related to one of the most intriguing drawings of the Baroque of Bartholomäus STROBEL i.e. Allegory On The Liberal Arts At The Time Of The Thirty Years War,(see fig. 1). The work includes a geometric drawing being its significant element. The target the authoress wishes to reach is to present drawing in geometric surroundings and the progress of research made on it.
Keyword: Baroque, Silesian art, geometric drawing.