ZBORNÍK SYMPÓZIA

O POČÍTAČOVEJ GEOMETRII

SCG´2011

Album

PROCEEDINGS OF SYMPOSIUM

ON COMPUTER GEOMETRY

SCG´2011

 

Volume 20

 

Slovak Society for Geometry and Graphics


Mechanical Engineering Faculty

Civil Engineering Faculty

Slovak University of Technology in Bratislava


October 2011, Kočovce, SR

ISBN 978-80-227-3580-3


Contents

M. Bákurová: On Osculating Pseudo-Circles of Curves in the Pseudo-Euclidean Plane . . . . 5
V. Bálint: Dva typy najlepších uložení systému štvorcov v obdĺžniku . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
M. Billich: Metóda obsahu v dokazovaní viet elementárnej geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
M. Božek: On Geometry of Differentiable Curves in the Pseudo-Euclidean Plane . . . . . . . . 23
E. Capková, P. Krušinský: Geometrická analýza historického krovu rímskokatolíckeho kostola v obci Belá – Dulice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
J. Čižmár: Algebrická geometria v druhej polovici 20. storočia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
P. Dudzik, E. Koźniewski: Implementation of the Topological Skeleton Types of Roofs in Cabri II Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
R. Dudzińska-Baryła, E. Michalska: Visualisation of Linear Inequalities
Systems and their Application in Geometric Method for Solving Linear Programming Problems
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Š. Gergelitsová, T. Holan: GeoTest – Systém pro vyhodnocování konstrukčních úloh . . . . . .
55
A. Gluzicka, D. Kopańska-Bródka: GeoGebra Software in Determining
Pareto Optimal Solutions of Multiobjective Linear Problem
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
E. Jurkin: Projectively Linked Pencils of Conics in Pseudo-Euclidean and Isotropic Plane . 67
M. Kmeťová: Dva klasické problémy gréckej matematiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
S. Kudličková, M. Tisoň: Integral Cubic Splines – Construction and Comparison . . . . . . . . . 79
M. Kupčáková: Úlohy z Dürerova listu Fiij spisu Underweysungn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
A. Maťašovský: O niektorých metódach výpočtu lokálnej priesekovej násobnosti algebraických variet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
P. Novotný: Ukladanie kociek do kvádra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
B. Pokorná, P. Chalmovianský: Quadratic Space-Like Bézier Curves in Three Dimensional Minkowski Space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
D. Richtáriková: Kráľovná medzi vzormi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Š. Solčan: O Pappovom dôkaze Pappovej vety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
M. Sroka-Bizoń: Architecture Defined by Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
I. Stipančić-Klaić, J. Matotek: Our First Insight in Sangaku Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
O. Šabík: Proposal of Parallel GPU Computing Aka GPGPU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
D. Velichová: Minkowského množinové operácie v En . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
P. Zahradník: On Monotone Polygons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Symposium Programme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
List of Participants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

 

Abstracts


On Osculating Pseudo-Circles of Curves in the Pseudo-Euclidean Plane

Martina M. Bákurová
KAGDM  FMFI  UK, Mlynská dolina, 842 48 Bratislava, SR
1e-mail: martina.batorovacervfmph.uniba.sk

Abstract. The aim of the paper is to discuss some properties of the osculating pseudo-circles and the evolute of curves in the pseudo-Euclidean plane.
Keywords: Pseudo-Euclidean plane, curve, osculating pseudo-circle, evolute.

Back


Dva typy najlepších uložení systému štvorcov v obdĺžniku

Vojtech Bálint
Fakulta PEDAS ŽU, Univerzitná 1, 010 26 Žilina, SR
e-mail: balintcervfpedas.uniza.sk

Abstrakt: Príspevok udáva najlepší možný výsledok pre uloženie konečného systému štvorcov do obdĺžnika v nasledovných dvoch prípadoch: ak najväčší štvorec je dostatočne veľký alebo dostatočne malý.

Summary. The paper gives the best possible result for the packing of finite number of squares into a rectangle in following two cases: if the greatest square is sufficiently large or sufficiently small.

Back


Metóda obsahu v dokazovaní viet elementárnej geometrie

Martin Billich
Pedagogická fakulta KU v Ružomberku, Hrabovská cesta 1, 034 01 Ružomberok, SR
e-mail: billichcervku.sk

Abstrakt: Je zrejmé, že dôkaz v matematike nie je cieľom, ale iba prostriedkom pre potvrdenie pravdivosti vopred vysloveného tvrdenia. V procese matematického vzdelávania je nevyhnutné oboznámiť študentov nielen so základnými teoretickými vedomosťami v oblasti argumentácie a dôkazov, ale hlavne vzbudiť u nich samotnú potrebu dôkazu. V tomto príspevku uvedieme možné aplikácie jednej zo syntetických metód (metódy obsahu) v dokazovaní konštrukčných geometrických tvrdení. Metóda obsahu je jednou zo zaujímavých metód školskej geometrie a v súčasnosti je tiež veľmi úspešná v oblasti automatického dokazovania planimetrických viet. Úlohy a tvrdenia uvedené v tomto príspevku sú demonštrované v interaktívnom prostredí programu GeoGebra.
Kľúčové slová: Metóda obsahu, orientovaný obsah trojuholníka, orientovaná vzdialenosť,  dokazovanie matematických viet, geometrické konštrukcie, planimetria.

Summary. The area method for Euclidean constructive geometry can efficiently prove many geometry theorems. The main idea of the area method is to express the hypotheses of a theorem using a set of starting („free“) points and a set of constructive statements each of them introducing a new point, and to express the conclusion by an equality between polynomials in some geometric quantities such as signed area and the Pythagorean difference. The proof is developed by eliminating the points, introduced before, using a set of appropriate lemmas.

Back


On Geometry of Differentiable Curves in the Pseudo-Euclidean Plane

Miloš Božek
Comenius University, Faculty of Mathematics, Physics and Informatics Mlynská dolina, 842 48 Bratislava, SR
e-mail: bozekcervfmph.uniba.sk

Abstract: The aim of the paper is to present basic facts on differential geometry of curves in the pseudo-Euclidean plane in all details.
Keywords: Non-singular indefinite quadratic form, pseudo-Euclidean plane, Frenet formulas.

Back


Geometrická analýza historického krovu rímskokatolíckeho kostola v obci Belá – Dulice

Eva Capková1, Peter Krušinský2

1Katedra mediamatiky a kultúrneho dedičstva, FHV, ŽU v Žiline, Univerzitná 8215/1, 010 26 Žilina, SR
e-mail: eva.capkovacervfpv.uniza.sk
2Katedra pozemného staviteľstva a urbanizmu, SvF, ŽU v Žiline, Univerzitná 8215/1, 010 26 Žilina, SR
e-mail: peter.krusinskycervfstav.uniza.sk

Abstrakt: V nadväznosti na realizované plošné stavebno-historické výskumy historických krovových konštrukcií v regiónoch Liptova, Turca, Oravy a Kysúc vzniká projekt s názvom Geometrická analýza historických krovových konštrukcií z územia SR. Prvým krovom určeným na geometrickú analýzu je krov rímskokatolíckeho kostola v obci Belá Dulice. Príspevok prináša jeho geometrickú analýzu, spolu s určením geometrických východísk, pomocou ktorých bola geometrická analýza realizovaná.
Kľúčové slová: geometrická analýza, historický krov, pytagorejské priemery.

Summary. The project „Geometric analysis of historical roof constructions of territory SR“ has been following the implemented areal constructional-historic research of the roof frames in the Liptov, Turiec, Orava and Kysuce regions. The first analysed truss has been the truss in the Catholic church in Belá Dulice. The contribution deals with his geometric analysis and essential geometric knowledge used in a geometric analysis as well.

Back


Algebrická geometria v druhej polovici 20. storočia

Ján Čižmár
Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského, Mlynská dolina, 842 48 Bratislava, SR
e-mail: jan.cizmarcervfmph.uniba.sk

Abstrakt: Článok obsahuje náčrt hlavných smerov vývoja algebrickej geometrie v druhej polovici 20. storočia. Stručne predstavuje dve fundamentálne koncepcie prestavby základov algebrickej geometrie v podaní B. L. van der Waerdena – O. Zariského a A. Grothendiecka. Taktiež poukazuje na súvislosti a vzájomnú inšpiráciu algebrickej geometrie s príbuznými disciplínami, najmä s diofantovskou geometriou a algebrickou teóriou čísel. V krátkom náčrte zaznamenáva vrcholné úspechy disciplíny v posledných troch desaťročiach 20. storočia.
Kľúčové slová: ideálová koncepcia, schémy, enumeratívne problémy, úspechy posledných troch desaťročí 20. storočia.

Summary. This paper contains a sketch of main directions of the development of the algebraic geometry in the second half of the 20th century. It presents briefly two fundamental conceptions of the restructuring foundations of the algebraic geometry in the presentation of both B. L. van der Waerden-O. Zariski and A. Grothendieck-J. Dieudonné. It also points at connections and mutual inspirations between the algebraic geometry and related branches of the mathematics, in particular with diophantine geometry and algebraic number theory. In a short outline top achievements of the discipline in the last decades of the century are noted.

Back


Implementation of the Topological Skeleton Types of Roofs in Cabri II Plus

Piotr Dudzik1, Edwin Koźniewski2

1Politechnika Śląska, Krzywoustego 7, 44-100 Gliwice, Poland
e-mail: piotr.dudzikcervfpolsl.pl
2Politechnika Białostocka, Wiejska 45E, 15-351 Białystok, Poland
e-mail: e.kozniewskcervpb.edu.pl

Abstract: The authors set themselves the task to develop all types of topological roof skeletons for selected polygons. They developed a collection for the following polygons: a hexagon, heptagon, octagon. In this study the authors used Cabri II Plus program and the results obtained in the monograph
Keywords: cabri, roof, straight skeleton, topological type of a roof (straight skeleton).

Back


Visualisation of Linear Inequalities Systems and their Application in Geometric Method for Solving Linear Programming Problems

Renata Dudzińska-Baryła1, Ewa Michalska2:

1Department of Operations Research, University of Economics in Katowice, ul. 1 Maja 50, 40-287 Katowice, Poland
e-mail: renata.dudzinskacervue.katowice.pl
2 Department of Operations Research, University of Economics in Katowice, ul. 1 Maja 50, 40-287 Katowice, Poland
e-mail: ewa.michalskacervue.katowice.pl

Abstract: Systems of inequalities are a part of mathematical models describing the variety of optimization problems. The visualisation of linear inequalities systems is a very important element of teaching quantitative subjects at the economic universities. Some possibility of such a visualisation is offered by free program GeoGebra. In this article we show an application of GeoGebra to dynamic visualisation of geometric method for linear programming problems with two or more variables.
Keywords: system of inequalities, linear programming, visualisation in education, GeoGebra.

Back


GeoTest – Systém pro vyhodnocování konstrukčních úloh

Šárka Gergelitsová1, Tomáš Holan2
MFF UK v Praze, Malostranské nám. 25, 118 00 Praha 1, ČR
1e-mail: sarkacervgbn.cz
2e-mail: Tomas.Holancervmff.cuni.cz

Abstrakt: Využívání didaktického software je již ve většině škol běžné. Při výuce geometrie využíváme často systémy dynamické geometrie, které nahrazují manuální rýsování. Kontrola správnosti žákovských řešení však stále zůstává nelehkým a časově náročným úkolem pro učitele. V článku popisujeme vlastní on-line systém, který rozhodování o správnosti konstrukčního postupu řešitelů automatizuje a navíc dává učiteli k dispozici prostředí, v němž může spravovat evidenci řešení samostatných prací, testů a úkolů svých žáků.
Klíčová slova: GeoGebra, interaktivní geometrie, on-line systém, web, kontrola řešení, planimetrické konstrukční úlohy.

Summary. Checking students’ answers to geometric tasks is terribly time-consuming for teachers. Thus automatization of this process can be a benefit not only for teachers but for students as well. We present such on-line system. It is based on GeoGebra applet and it provides an environment designed to facilitate an administration and evaluation of students’ answers to selected geometric problems.

Back


GeoGebra Software in Determining Pareto Optimal Solutions of Multiobjective Linear Problem

Agata Gluzicka1, Donata Kopańska-Bródka2
Department of Operations Research, University of Economics in Katowice, 1 Maja 50, Katowice, Poland
1e-mail: agata.gluzickacervue.katowice.pl
2e-mail: donata.kopanska-brodkacervue.katowice.pl

Abstract. To solve many practical problems we can use different optimization methods. One of them is multiobjective linear programming. In this method, if the optimal solution no exist we can determine the set of solutions which are called Pareto optimal solutions. In this paper solving the multiobjective linear problem supported GeoGebra software will be presented
Keywords: multiobjective linear programming, Pareto optimal solution, GeoGebra.

Back


Projectively Linked Pencils of Conics in Pseudo-Euclidean and Isotropic Plane

Ema Jurkin

University of Zagreb, Faculty of Mining, Geology and Petroleum Engineering, Pierottijeva 6, 10000 Zagreb, Croatia
e-mail: ema.jurkincervrgn.hr

Abstract. A curve of order four can be obtained as a locus of the intersections of corresponding conics of projectively linked pencils of conics. The conditions that the pencils and the projectivity in the pseudo-Euclidean and isotropic plane have to fulfill in order to obtain a circular quartic of a certain type have already been determined analytically. In this paper we construct all types of entirely circular quartics.
Keywords: pseudo-Euclidean plane, isotropic plane, entirely circular quartic, projectivity, pencils of conics.

Back


Dva klasické problémy gréckej matematiky

Mária Kmeťová
Katedra matematiky FPV UKF v Nitre, Tr. A. Hlinku 1, 949 74 Nitra, SR
e-mail: mkmetovacervukf.sk

Abstrakt. Tri najslávnejšie problémy starovekej gréckej geometrie sú tzv. Delfský problém (duplicita kocky), trisekcia uhla a kvadratúra kruhu. Prvé dva problémy sa dajú riešiť pomocou algebraických kriviek tretieho a štvrtého stupňa. V článku ukážeme spôsob konštrukcie týchto kriviek na základe ich určujúcich vlastností pomocou dynamického programu GeoGebra a riešenie dvoch starogréckych problémov pomocou nich.
Kľúčové slová: dynamický geometrický program, konštrukcia kriviek, kisoida, konchoida, kvadratrix.

Summary. The three most famous problems of ancient Greek geometry are doubling of the cube (also known as the Delian problem), angle trisection and squaring (or quadrature) the circle. The first two problems can be solved by algebraic curves of the third and fourth degree. The article shows construction of these curves as loci of points using dynamic geometric program GeoGebra and the solutions of these two problems.

Back


Integral Cubic Splines – Construction and Comparison

Soňa Kudličková1, Miroslav Tisoň2
FMFI UK, Mlynská dolina, 842 48 Bratislava, SR
1e-mail: kudlickovacervfmph.uniba.sk
2e-mail: miroslav.tisoncervfmph.uniba.sk

Abstract. Cubic spline curves can be compared by several different criteria. The continuity at the junction point of the adjacent segments is one of these criteria. After defining and discussing the basic properties of the geometric and parametric continuity, we describe the cubic spline curves with continuity conditions inherent in their representations: Hermite spline, cardinal spline, Catmull-Rom spline, Kochanek-Bartels spline, Bezier spline, beta-spline, B-spline. The comparison of spline curves follows the lectures at fmph.
Keywords: curve segment, spline curve, geometric/parametric continuity conditions, shape parameters, global/local control.

Back


Úlohy z Dürerova listu Fiij spisu Underweysung

Marie Kupčáková
PřF UHK, Rokitanského 62, 500 03 Hradec Králové, ČR
e-mail: Marie.Kupcakovacervuhk.cz

Abstrakt: Příspěvek je věnován druhé části Dürerova spisu Underweysung der messung mit dem zirckel... z roku 1525, a to pouze straně 26. Jeho cílem je ukázat, jak by bylo možno z Eukleidových vět odvodit správná řešení úloh o kruhových mozaikách z pravidelných pětiúhelníků a sedmiúhelníků.
Klíčová slova: Dürer, Underweysung, Eukleides – Základy.

Summary. The paper is devoted to the second part of Dürer's treatise Underweysung der messung mit dem zirckel... from year 1525 and relates only to page 26. Its aim is to show how it would be possible to derive a correct solution of circular mosaic exercises out of Eukleides theorems by means of regular pentagons and heptagons.

Back


O niektorých metódach výpočtu lokálnej priesekovej násobnosti algebraických variet

Alexander Maťašovský
Univerzita Komenského, Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Mlynská dolina, 842 48 Bratislava, SR
e-mail: alexander.matasovskycervfmph.uniba.sk

Abstrakt: Cieľom príspevku je popísať niektoré metódy výpočtu lokálnej priesekovej násobnosti dvoch algebraických variet v afinnom n-rozmernom priestore nad algebraicky uzavretým poľom.
Kľúčové slová: Samuelova násobnosť, štandardná báza, Buchbergerov algoritmus.

Summary. The one of the basic properties of singular points of algebraic varieties is their multiplicity. In this paper we describe two methods to compute the local intersection multiplicity of two algebraic plane curves without the common component, which are define by polynomials. The first method is called the Samuel´s multiplicity and the second one use the special basis of ideals, which is called the Standard Basis.

Back


Ukladanie kociek do kvádra

Pavel Novotný
KKMAHI, FPEDaS, Žilinská univerzita, Univerzitná 1, 010 26 Žilina, SR
e-mail: pavel.novotnycervfpedas.uniza.sk

Abstrakt: V práci je ukázané, že každý systém kociek s celkovým objemom 1 sa dá uložiť do kvádra s objemom 2,26.
Kľúčové slová: ukladanie kociek.

Summary. Any system of cubes of total volume 1 can be packed into a box of volume at most 2,26.

Back


Quadratic Space-Like Bézier Curves in Three Dimensional Minkowski Space

Barbora Pokorná1, Pavel Chalmovianský2
KAGDM, FMFI UK, Mlynská dolina, 842 48 Bratislava, SR
1e-mail: barbora.pokornacervfmph.uniba.sk
2e-mail: pavel.chalmovianskycervfmph.uniba.sk

Abstract. This paper consider about quadratic Bézier curves in three-dimensional Minkowski space. We shall show the conditions for the control points A;C;B of the Bézier curve such that the Bézier segment is space-like. For the middle control point C, we shall give a geometrical interpretation of the feasibility condition.
Keywords: Bézier curve, space-like curve, conic section.

Back


Kráľovná medzi vzormi

Daniela Richtáriková
SjF STU Bratislava, Nám. slobody 17, 812 31 Bratislava, SR
e-mail: daniela.richtarikovacervstuba.sk

Abstrakt: Príspevok pojednáva o základných geometrických vzoroch často prítomných v umeleckých dielach, ich pôvode a filozofickom význame.
Kľúčové slová: matematika a umenie, dávne geometrické vzory, symboly, Gustav Klimt.

Summary. The paper focuses on basic patterns found in art (mainly spiral), their origin, and philosophical meaning.

Back


O Pappovom dôkaze Pappovej vety

Štefan Solčan
FMFI UK Bratislava, Mlynská dolina, 842 48 Bratislava, SR
e-mail: solcancervfmph.uniba.sk

Abstrakt: Cieľom článku je priblížiť spôsob uvažovania a zdôvodňovania tvrdení autora známej Pappovej vety ako to bolo uvedené v siedmej knihe “Matematickej zbierky” Pappa v [4] a v preklade B. A. Rozenfelda v [3], ako aj prepis dobového vyjadrovania do súčasného a snaha o detailnejšiu argumentáciu a zdôvodnenie jednotlivých krokov dôkazov.
Kľúčové slová: Kolineárne body, podobné a rovnoľahlé trojuholníky.

Summary. The goal of the paper is to show the way of Pappus‘s thinking and proving his mathematical propositions, especially the Pappus’s hexagonal Theorem.

Back


Architecture Defined by Geometry

Monika Sroka-Bizoń
Silesian University of Technology, Krzywoustego 7, 44-100 Gliwice, Poland
e-mail: monika.sroka-bizoncervpolsl.pl

Abstract: Architectural object is created from various geometrical forms. In architectural object dated from the 50s to the 70s of 20th century, geometrical forms could be found which can be defined on the basis of the analysis of object image. The development of computer techniques aiding designing influenced not only the designing methods but also creation of architectural objects. Nowadays, it is common to make a parametric space model of an object while preparing technical documentation of a building. Based on canonical equations of surfaces of the second degree, parametric models of surfaces have been made with the use of  Mathematica 7.0 program. Surface models allow analyzing dependencies between changes of surface at the learning stage and working out the designing concept or designing itself.
Keywords: architecture, geometry, geometric form of architectural object.

Back


Our First Insight in Sangaku Problems

Ivanka Stipančić-Klaić1, Josipa Matotek2
University of Osijek, Faculty of Civil Engineering, Drinska 16a, 31000 Osijek, Croatia
1e-mail: ivanka.stipancic-klaiccervgfos.hr
2e-mail: josipa.matotekcervgfos.hr

Abstract: During self-imposed isolation from the West from 1639 to 1854 Japanese mathematicians built up an original math world. We can consider sangaku problems as a unique cultural creation with eternal beauty where art and religious aspect meet within mathematics. The advantage of sangaku is that it can be simple for younger students, while some problems are still a challenge for others because they are still unsolved.
Keywords: sangaku problem, Kowa Seki, enri, soroban, Japanese Theorem, Soddy’s Hexlet.

Back



Proposal of Parallel GPU Computing Aka GPGPU

Ondrej Šabík
Comenius University, Faculty of Mathematics, Physics and Informatics Mlynská dolina, 842 48 Bratislava, SK
e-mail: ondrej.sabikcervsasoft.sk

Abstract: For geometric modeling, speeding up the fundamental operations is highly desirable. In this short paper, we will evaluate parallel GPU computing on simple vector addition, parallel sorting algorithm and some comaprison to CPU. We will use an early version of OpenCL and a well-known sorting algorithm.
Keywords: OpenCL, GPGPU, parallel sorting, sorting, evaluate, comparisson, parallel computing

Back


Minkowského množinové operácie v En

Daniela Velichová
SjF STU Bratislava, Nám. slobody 17, 812 31 Bratislava, SR
e-mail: daniela.velichovacervstuba.sk

Abstrakt: V článku sú prezentované možnosti využitia Minkowského množinových operácií bodových podmnožín n-rozmerného euklidovského priestoru En pre > 3 pri modelovaní Riemannovských variet priestoru. Uvedené sú ukážky modelovania variet priestoru E4 a priestoru E6, a ich vizualizácie pomocou kolmých priemetov do trojrozmerných podpriestorov základného priestoru. Na konkrétnych príkladoch sú porovnané priemety listov plôch modelovaných ako Minkowského súčet, rozdiel a súčin oblúkov kriviek.
Kľúčové slová: Minkowského rozdiel, súčet a súčin, modelovanie variet.

Summary. Several possibilities are presented in this paper on the utilisation of the Minkowski set operations of point sets in the n dimensional Euclidean space En for > 3 in modelling Riemannian manifolds. Some examples are introduced on modelling manifolds in E4 and E6, and their visualisations by means of orthographic views in the three-dimensional coordinate subspaces of the basic 4 and 6 dimensional spaces. The comparison of different 3D views of manifolds determined as Minkowski sum, difference and product of two curve segments defined by vector representations is provided on particular examples.
Keywords: Minkowski sum, difference and product, modelling of surface patches.

Back


On Monotone Polygons

Peter Zahradník
FMFI UK, Mlynská dolina, 842 48 Bratislava, SR
e-mail: zahradnikcervfmph.uniba.sk

Abstract. In this paper we present an overview of all yet known classes of monotone polygons that are used in solving of many practical problems such as the polygon triangulation problem in computational geometry, stock cutting problem in manufacturing industry, the find-path problem in robotics, and many others. Moreover we present the time and space complexity of algorithms that investigate these polygons.
Keywords: D-monotone polygon, rotationally monotone polygon, weakly-monotone polygon, k-monotone polygon

Back