O istej cyklickej biracionálnej korešpondencii v Pⁿ(k)

On a Certain Cyclic Birational Correspondence in Pⁿ(k)

Ján Čižmár

Astrová 19, 821 01 Bratislava, Slovenská republika
e-mail: jan.cizmar80gmail.com

Abstrakt.  V článku je opísaná biracionálna cyklická
korešpondencia T  v n-rozmernom projektívnom priestore Pⁿ(k)
(‪‪n ‪≥ 2) nad algebricky uzavretým poľom k charakteristiky 0, ktorá je definovaná: v priestore Pⁿ(k) je daná regulárna nadkvadrika Q a bod O, ktorý s nadkvadrikou neinciduje. S ľubovoľným bodom (y) Pⁿ(k) korešponduje každý bod (y´) Pⁿ(k), ktorý má tieto vlastnosti: a) Body O, (y), (y´) sú kolineárne;
b) Ak (¹r), (²r) sú priesečníky priamky O(y) s nadkvadrikou Q, dvojpomer ((¹r)(²r)(y)(y´)) = 𝜀, kde 𝜀 je primitívny m-tý koreň z 1 (m ≥ 3). Sú nájdené tieto množiny príslušné ku korešpondencii:
a) fundamentálna varieta;
b) množina všetkých iregulárnych bodov;
c) množina všetkých biregulárnych bodov;
d) homaloidný systém a jeho vlastnosti;
e) štruktúrne vlastnosti asociovaného zobrazenia.‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬

Abstract. In this paper a birational cyclic correspondence T is described in an n-dimensional projective space Pⁿ(k)
(‪‪n ‪≥ 2) over an algebraically closed field k of characteristic 0. The correspondence T is described as follows: in the space Pⁿ(k) a non-incident point O and a regular hyperquadric are given. A point (y´) Pⁿ(k) corresponds to an arbitrary point (y) Pⁿ(k) if: a) points O, (y), (y´) are collinear; b) if (¹r), (²r) are intersection points of the straight line O(y) with the hyperquadric Q, then the cross-ratio
((¹r)(²r)(y)(y´)) = 𝜀 , 𝜀 being the primitive mth root of 1
(m ≥ 3). The following sets are found:
a) fundamental variety;
b) set of all irregular points;
c) set of all biregular points;
d) homaloidal system and its properties;
e) structural properties of the associated map.

Kľúčové slová:  n-rozmerný projektívny priestor Pⁿ(k), regulárna nadkvadrika, biracionálna korešpondencia, fundamentálna varieta, množina iregulárnych bodov, množina biregulárnych bodov, racionálne zobrazenie, inverzné zobrazenie, systém homaloidov, štruktúrne vlastnosti objektov združených s korešpondenciou

Key words:  n-dimensional projective space Pⁿ(k), regular hyperquadric, birational correspondence, fundamental variety, set of irregular points, set of biregular points, rational map, inverse map, hyperquadric, homaloidal system, structural properties of objects associated with the correspondence

Späť

Součet konečné posloupnosti mocnin přirozených čísel a dokonalé čtverce

Sum of a Finite Sequence of Powers of Natural Numbers and Perfect Suqares

¹Milada Kočandrlová, ²Jana Marková

Bankovní institute vysoká škola, a.s.
Nárožní 2600/9, 158 Praha 5, Česká republika
¹e-mail: kocandrlovahotmail.cz
²e-mail: jmarkovabivs.cz

Abstrakt.  Pro konečný součet mocnin přirozených čísel jsou ukázány dva možné přístupy pomocí řešení lineárních rovnic. Z porovnání tabulky známých koeficientů mnohočlenů s Pascalovým trojúhelníkem je odvozen jednoduchý algoritmus pro generování součtů. Na závěr je uvedeno použití součtu druhých mocnin přirozených čísel při hledání dokonalých čtverců.

Abstract. Two possible approaches to find the final sum of the powers of natural numbers are shown, by means of solving linear equations . Simple algorithm is derived to generate sums, comparing the table of known coefficients of polynomials with Pascal triangle. Finally, application of sum of squares of natural numbers to finding perfect squares is presented.

Klíčová slova: words: konečný součet, mocnina přirozeného čísla, kombinační číslo, Pascalův trojúhelník, Bernoulliovo číslo, čtvercové číslo, pyramidové číslo, dokonalý čtverec

Key words: finite sum, power of natural number, combinatorial number, Pascal triangle, Bernoulli number, square number, pyramidal number, perfect square

Späť

Pětiúhelníková pokrytí roviny

Pentagonal Tiling of the Plane

Světlana Tomiczková

Katedra matematiky, Fakulta aplikovaných ved Západočeská univerzita v Plzni
Univerzitní 8, Plzeň, Česká republika
e-mail: svetlanakma.zcu.cz

Abstrakt. Petiúhelníkové pokrytí je pokrytí roviny geometrickými útvary takovými, že každá cást (dlaždice) je petiúhelník. Zde popíšeme klasifikaci, historii a nekteré vlastnosti petiúhelníkových pokrytí.

Abstract.  Pentagonal tiling is a tiling or tessellation of the plane where each piece (tile) is a pentagon. We describe classification, history and someproperties of pentagonal tiling.

Klíčová slova:  Pokrývání roviny, petiúhelníkové dlaždice.

Key words:  Tesselation, tiling, pentagons tile./p>

Späť

Asociované ideály ku špeciálnym triedam kriviek ako množinový úplný prienik

Associated Ideals of Special Classes of Monomial Curves as Set-Theoretic Complete Intersections

Michaela Holešová

Katedra stavebnej mechaniky a aplikovanej matematiky
Stavebná fakulta Žilinskej univerzity v Žiline
Univerzitná 8215/1, Žilina, Slovenská republika
e-mail: michaela.holesovafstav.uniza.sk

Abstrakt.  Asociované ideály k algebrickým varietam sa študujú v súvislosti s urcením poctu plôch, ktorých je daná algebrická varieta prienikom. V clánku sa venujeme asociovaným ideálom k monomiálnym krivkám. Ukážeme pre konkrétne triedy monomiálnych kriviek, že ich asociované ideály, a teda aj tieto monomiálne krivky, sú úplným alebo množinovým úplným prienikom.

Abstract.  Associated ideals of algebraic varieties are studied in the connection to determining the number of surfaces of which the algebraic varieties are intersections. In this article we deal with associated prime ideals of monomial curves. We show for concrete classes of monomial curves that their associated ideals and these monomial curves are ideal or settheoretic complete intersections.

Kľúčové slová:  monomiálne krivky, asociované ideály, množinové úplné prieniky

Key words:  monomial curves, associated prime ideals, set-theoretic complete intersections

Späť