Polárna transformácia kriviek a plôch

Polar Transformation of Curves and Surfaces

Anna Bálintová, rod.Trojáčková

Département de Mathématiques Faculté des Sciences Université de Monastir Boulevard d'Environement
5000 Monastir, Tunisie e-mail: @seznam.cz
e-mail: abalintovaseznam.cz

Abstrakt.  Cieľom predloženého článku je pripomenúť a zdôrazniť význam polárnej transformácie kriviek a plôch, poukázať na niektoré jej aplikácie, vzťah k Fresnelovej elastickej ploche a Boothovmu oválu. V závere článku je uvedená možná spojitosť uvažovanej transformácie s problémom charakterizácie guľovej plochy, vyjadrená pomocou istej triedy parciálnych diferenciálnych rovníc. Tento vzťah nebol zatiaľ v dostupne známej literatúre študovaný.

Abstract. The aim of the submitted paper is to remind and emphasize the importance of polar transformation of curves and surfaces, to point out some of its applications, as relation to the Fresnel elasticity surface and the oval of Booth. The conclusion offers possible connection of the mentioned transformation to the problem of characterisation of the spherical surface, expressed by a certain class of partial differential equations. This relation has not been studied in any available resources.

Kľúčové slová:  pól, polára, polárne združené krivky, polárne združené plochy, kružnicová inverzia, inverzia vzhľadom na guľovú plochu, Fresnelova elastická plocha, Boothov ovál

Key words:  pole, polar, reciprocal polar of curve, reciprocal polar of surface, inversion with respect to a circle, inversion with respect to a sphere, Fresnel elasticity surface, oval of Booth

Späť

3D Lemniscates and Their Usage in Data Approximation

3D lemniskáty a ich využitie v aproximácii dát

Mária Gemeranová

Faculty of Mathematics, Physics and Informatics Comenius University in Bratislava
Mlynská dolina, 842 48 Bratislava, SR
e-mail: Maria.Gemeranovafmph.uniba.sk

Abstract.  3D lemniscate is a set of points in R³, whose product of squared distances, to a finite set of fixed points, is a constant. These algebraic surfaces have found their use in CAGD. In our research, we use them for surface reconstruction – we look for a set of foci and a corresponding radius value, so that the resulting 3D lemniscate approximates the input data set sufficiently accurate.

Abstrakt. 3D lemniskáta je množina bodov v R³, ktorých súˇcin vzdialeností štvorcov, vzhl’adom na koneˇcnú množinu fixovaných bodov, je rovný konštante. Tieto algebraické plochy našli svoje využitie v CAGD. V našom výskume ich používame pri rekonštrukcii plôch – hl’adáme takú množinu ohnísk a hodnotu polomeru, aby výsledná 3D lemniskáta dostatoˇcne presne aproximovala vstupnú množinu dát.

Key words: 3D lemniscates, approximation, reconstruction, quasi-Newton’s method in optimization

Kľúčové slová: 3D lemniskáty, aproximácia, rekonštrukcia, kvázy-Newtonova optimaliza ˇcná metóda

Back

Timelike Minimal Helicoidal Surfaces in Lorentz-Minkowski 3-Space Revisited

Časové minimálne skrutkové plochy v Lorentzovom-Minkowského trojrozmernom priestore

Friedrich Manhart

Technische Universität Wien
Wiedner Hauptstraße 8–10/1043, A–1040 Wien, Austria
e-mail: manhargeometrie.tuwien.ac

Abstract. We investigate the geometry of timelike helicoidal minimal surfaces in Minkowski geometry.

Abstrakt.  V článku skúmame geometriu časových skrutkových minimálnych plôch v Minkowského geometrii.

Key words:  Timelike minimal surfaces, helicoidal surfaces

Kľúčové slová:  Časové minimálne plochy, skrutkové plochy

Back

Strophoids Are Auto-Isogonal Cubics

Strofoidy sú auto-izogonálne kubiky

Hellmuth Stachel

Vienna University of Technology, Institute of Discrete Mathematics and Geometry
Wiedner Hauptstr. 8–10/104, A 1040 Wien, Austria
e-mail: stacheldmg.tuwien.ac.at

Abstract.  Strophoids are defined as plane circular cubics with a node and orthogonal node tangents. These rational curves are characterized by a series of properties. Of fundamental importance is their role as generalizations of Apollonian circles (Theorem 1). We also focus on quadratic transformations which keep strophoids invariant. At almost all properties a symmetric relation of points on the cubic is important.

Abstrakt.  Strofoidy sú definované ako rovinné kubiky s jedným dvojnásobným bodom a s kolmými dotyˇcnicami v ˇnom. Tieto racionálne krivky majú celý rad charakteristických vlastností. Kl’úˇcový význam má skutoˇcnost’, že sú zovšeobecnením Apolóniových kružníc (Veta 1). Kvadratické transformácie, na ktoré sa tiež zameriame, zachovávajú strofoidy invariantnými. Pri takmer všetkých vlastnostiach zohráva významnú úlohu relácia súmernosti bodov kubiky. Key words: Strophoid, rational cubic curve, pedal curve, focal curve, equicevian curve, associated points, quadratic transformations, auto-isogonal curve.

Key words:  Strophoid, rational cubic curve, pedal curve, focal curve, equicevian curve, associated points, quadratic transformations, auto-isogonal curve

Kľúčové slová:  Strofoida, racionálna kubika, úpätnica, ohnisková krivka, ťažnicová krivka, asociované body, kvadratické transformácie, auto-izogonálna krivka

Back